• Was ist mit einem Ausfall bzw. Ereignis eines Zufallsversuchs gemeint?
• Typische Interpretationen für $P(E)$ sind relative Anteile(z.B.: Urnen), relative Häufigkeiten (z.B.: Würfeln) oder einfach ein Maß für ein subjektives Vertrauen.
• Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ist im Grunde einfach (im Detail lauert wie immer der ...)
  $$\begin{align} & P(\Omega) = 1 \quad und \quad P(\{\})=0 \\ & P(E_1 \cup E_2) = P(E_1 \lor E_2) = P(E_1) + P(E_2)- P(E_1 \cap E_2) \label{eq:union} \\ & P(E_1 \cap E_2) = P(E_1 \land E_2) = P(E_1) \cdot P(\left.E_2\right|E_1) \label{eq:intersection} \end{align}$$

Regel ($\ref{eq:union}$) lässt sich für Ereignisse, die unvereinbar(disjunkt) sind, vereinfachen - wie?

($\ref{eq:intersection}$) lässt sich für Ereignisse, die unabhängig sind, vereinfachen - wie?
Bei einem Laplace'schen Wahrscheinlichkeitsraum haben alle Elementarereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit - ob diese Annahme gilt, ist im einzelnen zu entscheiden oder vorgegeben!

Beispiel: In einer Urne befinden sich 6 Kugeln mit Beschriftung 1 bis 6. Es werden 2 Kugeln hintereinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Ziffernfolge (2,3) zu ziehen?

Eine Lösungsmöglichkeit ist einfach die Mächtigkeit von $\Omega$ zu berechnen und die Laplace'sche Annahme herzunehmen: $$\begin{align} \Omega = \{\left.(i,j)\right| i,j \in \mathbb{N}_6 \land i \neq j\} \Rightarrow \left|\Omega\right|=? \end{align}$$

Das Ergebnis ist (zum Schluss "Enter"-Taste)

$P((2,3))$ ist daher als Dezimalzahl(3 Stellen hinter dem Komma)


Eine andere oft gewählte Möglichkeit ist das Ereignis $E=\{(2,3)\}$ zu zerlegen und dann obige Rechenregel (3) zu verwenden: $$\begin{align} E = E_1 \cap E_2 = \{\left.(2,j)\right| j \in \mathbb{N}_6 \land j \neq 2\} \cap \{\left.(i,3)\right| i \in \mathbb{N}_6 \land i \neq 3\} \underbrace{=}_{Regel (3)} P(E_1) \cdot P(E_2|E_1) \end{align}$$ dies wirkt zwar etwas monströs, aber $P(E_1)$ und $P(E_2|E_1)$ lassen sich mit Ereignisbäumen relativ leicht bestimmen!
Wie groß ist $P(E_2|E_1)$ als Dezimalzahl?


• $$\begin{align} \Omega = E_1 \cup E_2 \qquad und \qquad E_1 \cap E_2 = \{\} \Rightarrow P(E_1) + P(E_2)= X \end{align}$$

  Mengen mit dieser Eigenschaft heißen komplementär($E_1'=E_2$). Bei Ereignissen spricht man von Gegenereignissen($E_1= \lnot E_2$).

  Versuche diese Formel aus den obigen Rechenregeln zu beweisen!

  Wie groß ist $X$ in obiger Formel?
  

• Obiger Sachverhalt lässt sich etwas verallgemeinern: $$\begin{align} \Omega = E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n \qquad und \qquad \forall i,j (i \neq j)\in \{1,2,\ldots n\}: E_i \cap E_j = \{\} \Rightarrow \sum_{i=1}^n P(E_i)=? \end{align}$$

  Das Ergebnis ist:

• Beispiel: In einer Urne befinden sich 3 weiße, 2 schwarze und 1 rote Kugel. Es wird 2 mal gezogen ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse als irreduzible Brüche

  • Beide Kugeln haben dieselbe Farbe

    Das Ergebnis ist:

  • Mindestens 1 Kugel ist ist schwarz

    Das Ergebnis ist:

  • Die zweite Kugel ist rot

    Das Ergebnis ist:

  • Die erste Kugel ist schwarz

    Das Ergebnis ist:

• Jetzt zum Schluss ein paar Rechnungen - Sie entscheiden, ob das richtig oder falsch ist!

  	Frage	Richtig	Falsch
  1)	Es wird gewürfelt. P sei das Ereignis: "eine Primzahl kommt", G sei das Ereignis: "eine gerade Zahl kommt", E sei das Ereignis: P oder G tritt ein! $P(E)=P(P \cup G) = P(P)+P(G) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$	richtig	falsch
  2)	Es wird 2 mal hintereinder gewürfelt. $E_1$ sei das Ereignis:"Beim 1.-ten Wurf ein Sechser", $E_2$ sei das Ereignis:"Beim 2.-ten Wurf ein Sechser", E sei das Ereignis: $E_1$ und $E_2$ tritt ein! $P(E)=P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)\cdot P(E_2) = \frac{1}{6} \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$	richtig	falsch
  3)	Es wird 2 mal hintereinder aus einer Urne ohne Zurücklegen gezogen. In der Urne befinden sich 6 Kugeln, die von 1 bis 6 durchnummeriert sind. $E_1$ sei das Ereignis:"Beim 1.-ten Zug ein Sechser", $E_2$ sei das Ereignis:"Beim 2.-ten Zug ein Sechser", E sei das Ereignis: $E_1$ und $E_2$ tritt ein! $P(E)=P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)\cdot P(E_2) = \frac{1}{6} \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$	richtig	falsch

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