Arbeitspfad zur Binomialverteilung bzw. Normalverteilung
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2 Zufallsvariablen - das Arbeitspferd der Wahrscheinlichkeitsrechnung
  1. Wenn man bei dem vorigen Urnenbeispiel eine so Art "Mittelwert" bei den Zufallsversuchen berechnen möchte, wird das schwer gehen - wie soll man mit "rot", "weiß" und "schwarz" rechnen. Man hilft sich hier, indem man den Farben (allgemein den Ausfällen) Zahlen zuordnet - ja und mit Zahlen kann man ja wohl rechnen. Dieses "Dings", das diese Zuordnung macht, heißt - ja richtig- Zufallsvariable(ZV) und wird meist mit einem Großbuchstaben bezeichnet - beliebt sind X, Y , Z.

    Die Idee ist also, dass jeder Ausfall $\omega \in \Omega$ mit einer reellen Zahl $a_i$(stellen Sie sich einfach vor mit Geld - das passt gut in unsere Zeit) bewertet wird. Z.B.: rot mit 5.2, schwarz mit $\pi$ und weiß mit $\sqrt{2}$. Unser Interesse gilt jetzt nicht mehr den einzelnen Ausfällen, sondern wir schauen uns die möglichen Werte der ZV mit ihren Wahrscheinlichkeiten an - das nennt sich dann Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Das klingt zunächst komplizierter als es ist. Aber zunächst die

  2. Definition einer ZV X \begin{align} X: \Omega & \mapsto W \subseteq \mathbb{R} \\ \omega & \mapsto X(\omega)=a_i \end{align} Wie die Indizierung von den Werten $a_i$ bereits nahelegt, beschäftigen wir uns zunächst mit abzählbaren $\Omega$'s, sodass die Werte $a_i$ endliche oder unendliche Folgen bilden! Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist dann die Berechnung aller $P(a_i)$ meist geschrieben als $P(X=a_i$)- meist in Tabellenform.
    Beispiel: In einer Urne befinden sich 3 weiße, 2 schwarze und 1 rote Kugel. Es werden 2 Kugeln hintereinander ohne Zurücklegen gezogen. Für jede weiße Kugel gewinnt man 1 Euro, je schwarze 2 Euro und für die rote gibts leider nichts. Wir "basteln" uns eine ZV X, die den Gewinn pro Doppelzug darstellt. Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in einer Tabelle an

    Also los gehts: Wir überlegen zuerst alle Möglichkeiten in $\Omega$ und ermitteln die dazugehörigen Werte von X:

    \begin{equation} (w,w)\mapsto 2, (w,s)\mapsto 3, (s,s)\mapsto 4, (w,r)\mapsto 1, (s,r)\mapsto 2 \Rightarrow W=\{1,2,3,4\} =\{a_i\} \end{equation} zu diesen Werten suchen wir jetzt die Wahrscheinlichkeiten $P(X=a_i)$
    $X$ 1 2 3 4 $\Sigma P(X=a_i)$
    $P(X=a_i)$$\frac{6}{30}$ .... $\frac{12}{30}$ .... ....

    1 als Wert der ZV X ist nur möglich mit den Ausfällen (w,r) bzw. (r,w), die W. dafür sind je 3/30, da die Ausfälle unvereinbar sind, darf man einfach addieren, also 6/30.

    3 als Wert der ZV X ist nur möglich mit den Ausfällen (w,s) bzw. (s,w), die W. dafür sind je 6/30, da die Ausfälle unvereinbar sind, darf man einfach addieren, also 12/30.

    Das Ergebnis für 2 ist (in Dreissigstel - nur mehr Zähler eingeben)