| $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | $\Sigma P(X=a_i)$ |
| $P(X=a_i)$ | $\frac{6}{30}$ | $\frac{10}{30}$ | $\frac{12}{30}$ | $\frac{2}{30}$ | 1 |
Hier der Graf dieser Funktion $f$
oder besser
Die Fläche unter der Funktion im Intervall [a,a+1[ ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die ZV
den Wert a annimmt!
Um das zu formaliseren brauchen wir eine neue Nomenklatur:
Ist $f$ eine positiv definite reelle Funktion, (d.h.
$ \forall x \in \mathbb{R}: f(x)\ge 0 $) dann ist mit
$\int \limits_a^b f$ der Flächeninhalt des Graphen im Intervall [a,b] gemeint. Zur
Veranschaulichung
Beachte, dass der Flächeninhalt der Recheckflächen leicht auszurechnen ist, da die Breite ja 1 ist, ergibt sie sich einfach als Summe der Wahrscheinlichkeiten: \begin{align} P(\Omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f = \sum_i P(X=i) = \sum_i p_i = 1 \end{align} \begin{align} P(a \leq X \leq b) = \int\limits_{a}^{b+1}\!\!\!\!f = \sum_{i=a}^b P(X=i) \end{align}
Bei stetigen ZV wie z.B. Körpergewicht ist es noch leichter: \begin{align} P(a \leq X \leq b) = \int\limits_{a}^{b} f \end{align}
Diese wichtige Funktion $f$ heißt Wahrscheinlichkeitsdichte(funktion)
Der gesamte Flächeninhalt unter einer Wahrscheinlichkeitsdichte ist
$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f =$
$ \forall x \in D_f: f(x) \geq $
$\int\limits_a^a f = $
- die Visualisierung
- die Möglichkeit zur Verallgemeinerung auf stetige Wertemengen der ZV
Wir wählen als ZV X den auszuzahlenden Betrag - er ist negativ, wenn man verliert. Wir schreiben uns die möglichen Werte geordnet in eine Tabelle und überlegen uns deren Wahrscheinlichkeit. (Hier ganzen Bruch in der Schreibweise "x/36" eingeben)
| $X$ | -12 | -10 | -9 | -8 | -6 | -4 | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | $\Sigma P(X=a_i)$ |
| $P(X=a_i)$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | 1 |
Wer sich das Programm 'gnuplot' installieren möchte, kann sich leicht ein Skript anfertigen, um jedes beliebige
Histogramm zu zeichnen und bekommt dies in fast jedem beliebigen Format - ich hab mich hier für SVG(Scalable
Vector Graphics) entschieden, weil es von den Browsern unterstützt wird (und wie der Name sagt beliebig
skalierbar(vergrößern/verkleinern) ist). Die Bedienung von 'gnuplot' ist wieder eine eigene
Geschichte!
Beantworte an Hand der Tabelle(des Grafen der Dichte folgende Fragen):
- Wie groß ist die W. weniger oder gleich 5 Euro zu gewinnen (formal $P(X \leq 5)=$) (Ergebnis in x/36 -- benutze dazu am besten das gnuplot Histogramm, weil das ist in x/36 beschriftet!)
-
Obige Aufgabe lässt sich als Flächenberechnung unter der Dichte $f$ auffassen:
$\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^x f}$.
Welchen Wert muss $x$ dafür besitzen? (passen Sie auf - "5" ist falsch; Stichwort:"diskrete Verteilung") -
Es ist klar: $\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{a} f + \int\limits_{a}^{\infty} f = 1}$
Damit lässt sich $\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{6} f}$ berechnen als $\displaystyle{1 - \int\limits_{x}^{\infty} f}$.
Wie groß ist $x$? -
Bis zu welchem Wert der ZV liegen sie im unteren Quartil (Viertel?)
(formal $P(X \leq a) \leq 0,25 \quad $ Suche die größte Lösung für $a$ ) - Wie groß ist der Erwartungswert $\mu$ auf 2 Dezimalstellen(wxMaxima verwenden)?
- Berechne $\sigma = \sqrt{V(X)} $ auf 2 Dezimalstellen}
- Wieviel Prozent (gerundet auf Einerstellen) der Ergebnisse liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Erwartungswert? (formal $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) = P(|X-\mu|\leq \sigma) = ?$)
-
Bis zu welchem Wert der ZV liegen sie im oberen Quartil (Viertel?)
(formal $P(X \geq a) \leq 0,25 \quad $ Suche die kleinste Lösung für $a$ )
Wie (beinahe) immer zum Schluss ein kleiner multiple choice Test, um einige Dinge zu wiederholen: